大家好，我是小曜，我来为大家解答以上问题。均值不等式证明题，均值不等式证明很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

【均值不等式的简介】

概念：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）

则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) ●【均值不等式的变形】 (1)对正实数a,b，有a??+b??≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a??+b??>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a×b)≥0，即(a+b)/2≥√(a×b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a×b) (4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b) (5)对非负数a,b，有a??+b??≥2ab≥0 (6)对非负数a,b，有a??+b?? ≥??×(a+b)??≥ab (7)对非负数a,b,c，有a??+b??+c??≥1/3*(a+b+c)?? (8)对非负数a,b,c，有a??+b??+c??≥ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a??+ab+b??≥??×a+b)?? 2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a??+b??)/2） ●【均值不等式的证明】 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数 所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn) 即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn) ●【均值不等式的应用】 例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二 长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p 周长最小值为4√p 例三 长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16望采纳。谢谢

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。