（1）由$\rho =\frac{m}{V}$可得，$A$的质量：$m_{A}=\rho _{A}V_{A}=1.30g/cm^{3}\times 500cm^{3}=650g$；

$A$的重力：$G_{A}=m_{A}g=650\times 10^{-3}kg\times 10N/kg=6.5N$，

因为物体$A$漂浮，所以浮力等于重力，即$F_{浮}=G_{A}=6.5N$；

$(2)$因为物体$A$漂浮，且物体$A$有$\frac{2}{15}$的体积露出水面，则物体淹没的体积占总体积的$\frac{13}{15}$；

由$F_{浮}=G_{A}$可得，$\rho _{液}gV_{排}=\rho _{A}gV_{A}$

$\rho _{液}=\frac{{V}_{A}}{{V}_{排}}\rho _{A}=\frac{15}{13}\times 1.30g/cm^{3}=1.50g/cm^{3}$；

查表可知这种硫酸溶液的溶质质量分数是$60\%$；

$(3)$由$\rho =\frac{m}{V}$可得，硫酸溶液的质量：$m_{液}=\rho _{液}V=1.50g/cm^{3}\times 5\times 10^{3}cm^{3}=7.5\times 10^{3}g$，

硫酸的质量：$m_{硫酸}=7.5\times 10^{3}g\times 60\%=4.5\times 10^{3}g$，

要使物块$A$全部浸入溶液中，需加入水，并且使液体密度等于物体$A$的密度，由表中数据可知硫酸溶液此时的质量分数为$40\%$；

加入的过程中，硫酸质量不变，则加水后溶液的总质量：$m_{总}=\frac{{m}_{硫酸}}{40\%}=\frac{4.5×1{0}^{3}g}{40\%}=11.25\times 10^{3}g=1.125\times 10^{4}g$；

故所加水的质量：$m_{水}=m_{总}-m_{液}=1.125\times 10^{4}g-7.5\times 10^{3}g=3.75\times 10^{3}g$，

由$\rho =\frac{m}{V}$可得，所加水的体积：$V_{水}=\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}=\frac{3.75×1{0}^{3}g}{1g/c{m}^{3}}=3.75\times 10^{3}cm^{3}$。

答：（1）物块$A$静止时受到的浮力大小未$6.5N$；

$(2)$这种硫酸溶液的溶质质量分数是$60\%$；

$(3)$要使物块$A$全部浸入溶液中，至少需要往容器中加水$3.75\times 10^{3}cm^{3}$。