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级数收敛的必要条件(级数)

导读 大家好,我是小五,我来为大家解答以上问题。级数收敛的必要条件,级数很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、级数2、  series3、

大家好,我是小五,我来为大家解答以上问题。级数收敛的必要条件,级数很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、级数

2、  series

3、  将数列un的项 u1,u2,…,un,…依次用加号连接起来的函数。数项级数的简称。如:u1+u2+…+un+…,简写为∑un,un称为级数的通项,记Sm=∑un称之为级数的部分和。如果当m→∞时 ,数列Sm有极限S,则说级数收敛,并以S为其和,记为∑un=S否则就说级数发散。

4、  级数是研究函数的一个重要工具,在理论上和实际应用中都处于重要地位,这是因为:一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数, 微分方程的解就常用级数表示;另一方面又可将函数表为级数,从而借助级数去研究函数,例如用幂级数研究非初等函数,以及进行近似计算等。

5、  级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知,级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 :∑un收敛<=>任意给定正数ε,必有自然数N,当n>N,对一切自然数 p,有|un+1+un+2+…+un+p|<ε,即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

6、  如果每一un≥0(或un≤0),则称∑un为正(或负)项级数,正项级数与负项级数统称为同号级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和序列Sm 有上界,例如∑1/n!收敛,因为

7、  Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2^2+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

8、  有无穷多项为正,无穷多项为负的级数称为变号级数,其中最简单的是形如∑[(-1)^(n-1)]*un(un>0)的级数,称之为交错级数。判别这类级数收敛的基本方法是莱布尼兹判别法 :若un ≥un+1 ,对每一n∈N成立,并且当n→∞时lim un=0,则交错级数收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)收敛。对于一般的变号级数如果有∑|un|收敛,则称变号级数绝对收敛。如果只有 ∑un收敛,但是∑|un|发散,则称变号级数条件收敛。例如∑[(-1)^(n-1)]*(1/n^2)绝对收敛,而∑[(-1)^(n-1)]*(1/n)只是条件收敛。

9、  如果级数的每一项依赖于变量x,x 在某区间I内变化,即un=un(x),x∈I,则∑un(x)称为函数项级数,简称函数级数。若x=x0使数项级数∑un(x0)收敛,就称x0为收敛点,由收敛点组成的集合称为收敛域,若对每一x∈I,级数∑un(x)都收敛,就称I为收敛区间。显然,函数级数在其收敛域内定义了一个函数,称之为和函数S(x),即S(x)=∑un(x)如果满足更强的条件,Sm(x)在收敛域内一致收敛于S(x)。

10、  一类重要的函数级数是形如∑an(x-x0)^0的级数,称之为幂级数 。它的结构简单 ,收敛域是一个以为中心的区间(不一定包括端点),并且在一定范围内具有类似多项式的性质,在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2],幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1,3],而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

11、  还有一类非常常用的级数是傅里叶级数。

本文到此讲解完毕了,希望对大家有帮助。

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